Tip:
Highlight text to annotate it
X
Tässä videossa haluan perehdyttää sinut raja-arvon erittäin tärkeään käsitteeseen.
Se on oikeastaan käsite johon koko differentiaali- ja integraalilaskenta pohjautuu.
Mutta vaikka käsite onkin erittäin tärkeä, on se myös oikeastaan erittäin yksinkertainen asia.
Joten anna piirrän tähän funktion - oikeastaan, anna määrittelen funktion
tähän. Eräänlaisen yksinkertaisen funktion. Määritetään f(x) - sanotaan, että f(x) tulee olemaan (x-1)/(x-1).
Ja sinä voisit sanoa "Hei Sal, katso, osoittaja ja nimittäjähän ovat samat.
Jos minulla on jotain jaettuna itsellään, se olisi sama kuin yksi! Enkö voi sieventää tämän f(x)=1?"
Ja minä sanoisin, "No, olet melkein oikeassa, ero f(x)=1 ja tämän funktion
välillä on että tämä on määrittelemätön kun x=1. Joten jos sijoitat - anna kirjoitan sen tähän - jos sinulla on
f(1), mitä tapahtuu? Osoittajaan tulee (1-1), joka on.. anna kirjoitan sen..
osoittajaan tulee 0, ja nimittäjään tulee (1-1), joka on myös 0. Joten mitä tahansa jaettuna
0:lla, mukaanlukien 0/0, on määrittelemätön. Joten voit tehdä yksinkertaistuksen - voit sanoa että tämä on
sama asia kuin f(x)=1, mutta sinun täytyy lisätä rajoitus ettei muuttuja x voi olla yhtäsuuri kuin 1. Nyt tämä
ja tämä ovat yhtäsuuria. Molemmat näistä tulevat olemaan samanarvoisia kuin 1, kaikille muille x:n arvoille kuin 1. Mutta
kun x=1, niistä tulee määrittelemättömiä. Tämä on määrittelemätön ja tämä on määrittelemätön. Joten kuinka piirtäisin kuvaajan funktiosta?
Joten anna piirrän kuvaajan.. Tämä on minun y=f(x) akseli, ja tämä täällä on minun x-akseli, ja sitten sanotaan että
tämä piste on x=1, tämä täällä on x=-1, tämä on y=1, tänne ylhäälle voin kirjoittaa -1, mutta
se ei ole olennainen tälle funktiolle. Joten anna piirrän sen. Se on olennaisesti
jokaiselle muulle x:n arvolle paitsi 1, f(x)=1. Joten se näyttää tältä.. paitsi kun x=1. Silloin f(x) on määrittelemätön, joten
jätän pienen aukon tähän kohtaan, tämän ympyrän, merkitsemään että funktio
on määrittelemätön - emme tiedä funktion arvoa kohdassa 1, emme ikinä määritelleet sitä.
Tämä funktion määritelmä ei kerro meille mitä tehdä kohdassa 1 - se on kirjaimellisesti määrittelemätön kun x=1.
Joten tämä funktio täällä, taas kerran, jos joku kysyy sinulta mitä on f(1), sanoisit..
ja sanotaan, että tämä on funktion määritelmä, sanoisit x=1. Ai, odota, funktiossa on aukko
täällä, joten se on määrittelemätön. Joten anna kirjoitan sen uusiksi, se on oikeastaan aika turhaa mutta kirjoitan sen uusiksi.
f(1) on määrittelemätön. Mutta mitä jos kysyisin sinulta, mitä funktio lähestyy
kun x=1? Ja nyt, tämä alkaa koskettaa raja-arvon ideaa. Kun x tulee lähemmäksi ja lähemmäksi yhtä..
mitä funktio lähestyy? Mitä se on yhä lähempänä ja lähempänä?
Vasemmalta puolelta, kuinka tahansa lähelle lukua 1 pääset, kunhan et ole luvussa 1, f(x)=1.
Täältä oikealta puolelta se on täysin sama asia. Joten voisit sanoa - ja pääset
lähemmäksi ja lähemmäksi ideaa kun teemme enemmän esimerkkejä - että f(x):n raja-arvo kun
x (ja lim, lyhennys limitistä eli raja-arvosta) - kun x lähestyy arvoa 1 on yhtäsuuri kuin..
Kun pääsemme lähemmäs, uskomattoman, äärettömän lähelle arvoa 1 kunhan emme vain ole arvossa 1..
Ja meidän funktion arvosta tulee yhtäsuuri kuin 1, se on yhä lähempänä ja lähempänä arvoa 1,
se on oikeastaan 1 koko ajan. Tässä tapauksessa voimme sanoa, että f(x):n raja arvo kun x lähestyy arvoa 1
on 1. Joten taas kerran, tässä on hieno merkintä, sanomme vain "Katso, mitä funktio lähestyy
kun x lähestyy arvoa 1?"
Anna teen toisen esimerkin missä käsittelemme käyrää, jotta ymmärrät idean.
Sanotaan että minulla on funktio f(x) - käytän vaihtelun vuoksi nimeä g(x).
Sanotaan että g(x) on yhtäsuuri kuin - voin määritellä sen näin, voimme määritellä sen x²
kun x ei ole 2, ja sanotaan että kuin x=2 se on 1. Joten jälleen kerran, aika mielenkiintoinen
funktio joka - kuten näet - ei ole täysin jatkuva. Siinä on epäjatkuvuus. Anna piirrän sen.
Tämä on minun y=g(x) akseli, ja tämä on minun x-akseli täällä. Sanotaan tämä on x=1, tämä on x=2,
tämä taas -1, tämä -2.. Joten kaikkialla paitsi x=2, se on yhtäsuuri kuin x². Joten anna piirrän sen..
Tästä tulee paraabeli, ja se näyttää tältä.. se näyttää jotenkin..
Anna piirrän paremman version paraabelista. Se näyttää jotenkin tältä, ei kauneimmin
piirretty paraabeli paraabelien piirtämisen historiassa, mutta uskon että saat tästä käsityksen miltä paraabeli
näyttää, toivottavasti. Sen pitäisi olla symmetrinen.. Anna piirrä sen vielä uudestaan, koska tämä on aika ruma.
Nyt se näyttää paremmalta, okei, tässä. Hyvä.
Nyt, tämän on pelkän x² käyrä, mutta se ei ole x² kun x=2. Joten taas, kun x=2,
meillä pitää olla vähän epäjatkuvuutta täällä, joten piirrän pienen aukon tänne,
koska kun x=2, funktion arvo on 1.
En piirrä näitä samaan mittakaavaan.. Käyrällä g(x)=x² tämä olisi 4, tämä olisi 2,
tämä olisi 1, tämä olisi 3. Joten, x=2, funktiomme arvo on 1.
Tämä on aika kummallinen funktio, mutta voit määritellä sen näin, voit määritellä funktion kuinka
haluat itse määritellä sen! Joten katso, huomaa, että se on kuin käyrä g(x)=x², paitsi kun pääset x:n arvoon 2,
siinä on tämä aukko, koska et käytä funktiota "g(x)=x²" kun x=2, vaan käytät funktiota "g(x)=1".
Jos olen sanonut f(x), pahoitteluni.
Käytät funktiota g(x)=1, joten tarkalleen luvun 2 kohdalla se tippuu yhteen, ja sitten se jatkaa x² mukaisesti.
Joten on vielä pari asiaa. Jos minun pitäisi vain arvioida funktiota - g(2),
katso tätä määritelmää. Kun x=2, käytän tätä tapausta täällä,
ja se kertoo minulle se tulee olemaan yhtäsuuri kuin 1. Anna kysyn mielenkiintoisen kysymyksen, tai jopa vielä
mielenkiintoisemman kysymyksen. Mikä on g(x):n raja-arvo kun x lähestyy lukua 2? Taas hieno merkintä, mutta
kysymys kysyy jotakin aika yksinkertaista. Se sanoo "kun x lähenee arvoa 2...
kun se lähestyy ja lähestyy - ja tämä ei ole tarkka määritelmä, teemme sen tulevissa videoissa -
kun x lähestyy ja lähestyy lukua 2, mitä g(x) lähestyy? Joten jos päästään lukuun 1.9, ja sitten 1.999, ja sitten 1.999999
ja sitten 1.9999999, mitä g(x) lähestyy? Jos lähestytään positiiviselta puolelta,
ja olemme arvossa 2.1, mikä on g(2.1)? Mikä on g(2.01)? Mikä on g(2.001)?
Mitä lähestymme kun pääsemme lähemmäs ja lähemmäs sitä?
Ja näet sen visuaalisesti piirtämällä käyrän. Kun g lähestyy ja lähestyy kahta..
Ja kun me seuraamme käyrää, näemme että lähestymme arvoa 4,
vaikka se ei ole missä funktio on - funktio tippuu alas yhteen - g(x):n raja-arvo kun
x lähestyy arvoa 2 on 4. Voit tehdä tämän myös numeerisesti käyttämällä laskinta.
Ja anna teen sen, koska luulen että siitä tulee kiinnostavaa. Otan laskimen..
Otan luotettavan laskimeni ulos.. tässä on laskimeni.. Joten voit numerisesti sanoa,
ok, mitä se lähestyy kun lähestyt x=2? Koitetaan 1.9. Kun x=1.9, käytät tätä
ylempää lauseketta, täällä näin. Saisit 1.9², joten saisit 3.61.
No, mitä jos lähestytään vielä lähemmäs kahta? 1.99, ja taas korotetaan se toiseen potenssiin,
saamme 3.96. Mitä jos korotan1.999 toiseen?
Saan 3.996. Huomaa, pääsen lähemmäs ja lähemmäs pistettämme.
Jos pääsisin erittäin lähelle - 1.999999999999²? Mihin pääsen? Se ei oikeastaa ole
tarkalleen 4 - laskin pyöristi sen - sillä olemme luvussa erittäin erittäin
erittäin lähellä lukua 4.Ja voimme tehdä jotain myös positiiviselta suunnalta, myös, ja sen on itseasiassa
oltava sama lähestyessämme alhaalta
kuin lähestyessämme ylhäältä. Joten jos koitamme 2.1², pääsemme lukuun 4.4..
Anna menen pari askelta edelle..
2.0001². Tämä on paljon lähempänä lukua 2. Nyt pääsemme paljon lähemmäs lukua 4.
Joten lähemmäs lukua 2 menemme, näyttää siltä että pääsemme lähemmäs lukua 4.
Joten jälleen kerran tämä on numeerinen tapa nähdä että g(x):n raja arvo kun x lähestyy lukua 2 kummalta tahansa suunnalta -
vaikka täsmälleen arvossa 2, funktio on 1, koska se on epäjatkuva -
raja-arvo kun lähestymme kahta, pääsemme lähemmäs ja lähemmäs ja lähemmäs lukua 4.